Jugando Con Las Matemáticas
Si quieres tu puedes
INSTITUCIÓN EDUCATIVA ERNESTO PARODI MEDINA
ÁREA: MATEMÁTICAS TEMA: VECTORES
DOCENTE: JOEL FERNÁNDEZ VARGAS
Suma de dos vectores que forman cualquier ángulo entre sí
Para sumar dos vectores que forman ángulos diferentes a los ya estudiado, se requiere para encontrar la magnitud del vector resultante, el teorema del coseno y para calcular su dirección del teorema del seno. Sin embargo, para ilustrar gráficamente se sigue utilizando el método gráfico
A continuación, se presentarán el teorema del seno y del coseno
TEOREMA DEL COSENO
se aplica en cualquier triángulo y se utiliza para encontrar un lado desconocido, si los otros dos son conocidos y el ángulo que se forma entre ellos (los lados conocidos).
Donde: a lado desconocido
b y c , lados conocidos
θ es el ángulo entre b y c
De igual manera si fuera el lado b el lado a buscar, la ecuación quedaría
Siendo b el ángulo entre a y c , todos ellos conocidos
TEOREMA DEL SENO Ó LEY DE LOS SENOS
se aplica en cualquier triángulo y en él se establece una proporcionalidad entre cada lado y el seno del ángulo opuesto a dicho lado
Sumar los vectores mostrados en la gráfica, sabiendo que a = 20 u y b = 25 u
Sol:
Para sumar los vectores inicialmente se utilizará el método gráfico para ilustrar gráficamente y encontrar geométricamente los ángulos que se necesitan para resolver el ejercicio
Para poder resolver el ejercicio es necesario conocer el ángulo que se forma entre los vectores a y b, denotado en la gráfica como λ
. Para encontrarlo es necesario tener algunos conocimientos de geometría
- En la gráfica la líneas punteadas son todas horizontales y por ende paralelas.
- Se puede considerar el vector b como una recta secante
- Dado lo anterior los ángulos θ y α son alterno e internos por lo cual son congruentes, es decir tienen la misma medida
- Por tanto, θ = α = 30°
- En la gráfica se muestra que: λ + α + β = 180° ⇒ λ + 30° + 15° = 180° ⇒ λ = 180° - 30° - 15° ⇒ λ = 135°
Ahora, conocido las magnitudes de los vectores y el ángulo formado entre ellos aplicamos el Teorema del Coseno
Para determinar la dirección del vector resultante debemos encontrar el ángulo que él forma con la horizontal (línea punteada) el cual llamaremos ω se hará uso del teorema del seno. Hagamos nuevamente la gráfica para identificar el ángulo a encontrar ( ω)
Sabemos que el ángulo θ mide 30º y que según la gráfica ω = θ - φ por tanto solo hay que encontrar el ángulo ω para lo cual hay que utilizar la Ley del Seno, relacionando el vector b y el vector R con los ángulos φ y λ
Por tanto, ω = θ - φ ⇒ ω = 30° - 25,08° ⇒ ω = 4,92° Esta es la dirección del vector resultante